Por que matemáticos dizem que matemática é bonita?

Um dos meus assuntos favoritos de matemática estudados durante a graduação é álgebra linear. Foi o primeiro curso que eu tive de uma disciplina focada em estruturas, no abstrato e na generalidade.

Em Cálculo tudo costuma ser muito lúdico e com correspondentes geométricos claros: tangentes a curvas, área compreendida entre o gráfico, comprimento de curvas, volume de um sólido de revolução, entre outros. É bem melhor de visualizar.

Apesar de álgebra linear também possuir, em alguma medida, representações visuais para os principais conceitos da área (veja a playlist Essence of linear algebra, do 3Blue1Brown), é comum ver excelentes livros-texto de álgebra linear sem praticamente nenhuma figura.

Matemáticos às vezes podem parecer como membros de uma seita: falam em códigos (linguajar e terminologias específicas da área de pesquisa) e afirmam se arrepiar e arregalar os olhos com resultados representados por uma combinação de letras e símbolos cujo significado só eles parecem saber.

O cerne está aqui: só quem estuda sabe o que está escrito. É como colocar novas lentes, para ver o que antes estava oculto ou desfocado aos olhos nus.

O que está escrito costuma ser belo, no sentido de carregar ideias baseadas em postulados simples que levam a resultados surpreendentes. O critério de beleza aqui é o de produzir um resultado inesperado, único, geral e útil para obter outros resultados dentro do campo, a partir de um conjunto de ideias engenhosas, criativas e articuladas.

Por exemplo, um dos resultados mais importantes da álgebra linear é o teorema da decomposição espectral: todo operador simétrico admite uma base ortonormal do espaço formada inteiramente por autovetores desse operador, isto é, ele pode ser decomposto em partes mais simples. O espaço inteiro se divide em subespaços ortogonais, cada um associado a um autovalor.

A prova disso envolve uma série de argumentos que misturam conhecimentos de toda a teoria, até que se chegue na extraordinária conclusão (que é muito desejável pois facilita a manipulação desses operadores). Não ache que isso é desejável apenas para matemáticos: álgebra linear é aplicada em inúmeras áreas do conhecimento, em particular na inteligência artificial (que é a grande revolução no tempo em que escrevo este texto).

Se você não tem estudo dentro da área, se não está familiarizado com as definições circundantes, essas palavras e símbolos não possuirão o menor significado para você. Não será capaz de entender a beleza intrínseca dos conjuntos de ideias que produzem cada resultado.

O único caminho é o estudo. O estudo da matemática dignifica, te torna mais inteligente, metódico, sistêmico e com melhor reconhecimento de padrões.